斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887.12.22—1920.4.26）是印度历史上最著名的数学家之一。他有着超越常人的数学直觉，在短暂的一生中，其所取得的数学成果深刻启发了后来的众多数学方向，甚至影响到物理、生物、计算理论等领域。

《知无涯者：拉马努金传》作者卡尼盖尔评价：“拉马努金是印度在过去一千年中所诞生的超级伟大的数学家。他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑，在他死后70多年，他的论文中埋藏的秘密依然在不断地被挖掘出来。他发现的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。”

被问及一生中最重要的贡献是什么时，大数学家哈代回答：“发现拉马努金。”

今天，是拉马努金逝世100周年纪念日，在赞叹其非凡的数学直觉之外，也不免为其被耽搁的“不幸的5年”、没能成为“本可能成为的多么伟大的数学家”而惋惜。哈代认为，18至25岁是数学家一生中至关重要的年龄段，而由于无法得到适合的教育、未能获得正确的引领，拉马努金的这段时光被毁了。

未有天才之前，应先有适合天才生长的泥土。大约100年前，鲁迅感慨，“天才并不是自生自长在深林荒野里的怪物，是由可以使天才生长的民众产生，长育出来的……不但产生天才难，单是有培养天才的泥土也难。我想，天才大半是天赋的；独有这培养天才的泥土，似乎大家都可以做。做土的功效，比要求天才还切近；否则，纵有成千成百的天才，也因为没有泥土，不能发达，要像一碟子绿豆芽……泥土和天才比，当然是不足齿数的，然而不是坚苦卓绝者，也怕不容易做；不过事在人为，比空等天赋的天才有把握。这一点，是泥土的伟大的地方，也是反有大希望的地方。”

下文由“墨子沙龙”节译自哈代1936年在哈佛大学的演讲，让我们跟随“比任何人都更了解拉马努金”的哈代，去感受拉马努金的天赋、思想，以及遗憾——

印度数学家拉马努金

哈代

评价拉马努金的难度是显而易见、令人生畏的。拉马努金是印度人，我想对于一个英国人和一个印度人来说，要正确地理解彼此总是有点困难。他最多是个受过不完整教育的印度人，他从未在传统印度教育上表现优异。他从没通过印度大学的“初级文科考试”，甚至从未当上“不合格的文学士”。他一生的大部分时间都是在几乎完全不了解现代欧洲数学的情况下工作的；刚刚三十几岁，在他的数学教育在某种意义上将要开始之时，他去世了。他发表了大量论文——发表的论文有近400页——但他还留下了大量未发表的作品，这些作品直到最近几年才得到正确的分析。这些工作包含了许多新发现，但更多的是再发现，而且往往是不完善的再发现。要区分出哪些成果一定是他重新发现的，哪些则可能是他学来的，有时依然不可能做到。即使今日，我也无法想象有人能充满信心地评判他是一位多么伟大的数学家，更别说去评判他本可能是一位多么伟大的数学家了。

这些都是真正的困难，但我认为，我们将发现其中一些并不像它们看起来那样令人生畏，而对于我的最大困难与拉马努金数学生涯中明显的矛盾没有任何关系。对于我来说，真正困难在于：某种意义上，拉马努金是我的发现。我没有创造他——像一切伟大人物一样，他创造了自己。但在有机会目睹他的一些工作的人中，我是第一个真正够格的人。我现在仍然会心满意足地回忆起，那时我立刻就意识到我发现了怎样一件珍宝！我想，我依然比任何人都更了解拉马努金，我依然是关于拉马努金的首要权威。英国还有其他人，尤其是沃森教授，还有莫德尔教授，对于拉马努金的某些工作，他们远比我更了解；但无论沃森还是莫德尔，都不像我那样了解拉马努金。好多年，我几乎每天与他见面、与他交谈，最重要的是，我们真正地合作。除一人外，我受益、亏欠于他胜过其他任何人，与他的交往是我生命中仅有的浪漫故事。对于我，困难不在于我对他了解得不够，而在于我了解得太多、感受得太多；我已无法做到不偏不倚。

关于拉马努金的生平，我采取Seshu Aiyar和Ramachaundra Rao，以及我自己的回忆——它们一起收录在拉马努金的《论文集》中。他于1887年出生在贡伯戈讷姆（马德拉斯邦坦焦尔县的一个中型城镇）附近埃罗德的一个婆罗门家庭。他父亲是贡伯戈讷姆一家布店的职员，他所有亲戚种姓等级都很高，但很贫穷。

7岁时，他进入贡伯戈讷姆中学，在那里待了9年。10岁之前，他的非凡才能就开始显露出来。十二三岁时，人人就都认为他是个天赋独特的孩子。他的传记作者讲述了他早年的一些神奇故事。例如，他们说，开始学习三角学不久，他就自己发现了“正弦和余弦的欧拉定理”（我的理解，这是指三角函数和指数函数之间的关系），当他后来从Loney的《三角学》第二卷中得知这是一个已有结论时，非常失望。16岁以前，他从未见过任何高层次的数学书。那时，Whittaker的《现代分析》还没有那么广泛的流传，Bromwich的《无穷级数》还没问世。毋庸置疑，如果他能看到这两本书中的任意一个，都将使他与现在有极大的不同。然而，是另一个完全不同类型的书——Carr的《纯粹和应用数学基本结果概要》最先激发了拉马努金的全部能量。

《纯粹和应用数学基本结果概要》的作者George Shoobridge Carr之前是剑桥大学冈维尔和凯厄斯学院的学者，该书共2卷，分别于1880和1886年出版——现在几乎找不到了。剑桥大学图书馆现在存有一本，贡伯戈讷姆公立大学的图书馆那时恰好有一本，拉马努金的一个朋友帮他借了这本书。从任何意义上说，这本书都算不上是一部伟大的著作，但拉马努金却使它声名远扬，毫无疑问，这本书对他产生了深远的影响，他对这本书的研读标志着他事业的真正起点。这样一本书一定有它的特点，Carr的书即便不是一本杰出的书，但也并非是三流的教科书，而是一本真正有学问、有热情、有自己风格和个性的书。Carr是伦敦的一名私人教师，在他快40岁时作为大学生来到剑桥大学，是1880年Mathematical Tripos的第12位Senior Optime（同年他出版了《概要》的第一卷）【译注：Mathematical Tripos是剑桥大学的一种考试制度，第2名被称为Senior Optime】。他现在已经完全被人遗忘了，甚至在他自己的学院里也是如此，除了拉马努金使他的名字流传至今；但在某些方面，他一定是个相当出色的人。

我认为这本书实质上是Carr教学笔记的总结。Carr的学生会在课堂上学习《概要》中的适当章节。它大致涵盖了现在Mathematical Tripos的课程A（Schedule A）的内容，而且确实如它声称的那样是一份“概要”。它包含了6165个定理的阐述，系统地、相当科学地进行了安排，而所给的证明却通常只不过如“相互参见”，这肯定是书中最无趣的部分。所有这些在拉马努金著名的笔记本中都被放大了（这些笔记中几乎没有任何证明）；读过拉马努金笔记本的学生都能看出，拉马努金表述的方式完全承袭Carr的书。

Carr书中的章节有明确的主题，关于代数、三角学、微积分、解析几何等，但有些章节间的讲述很不均衡，特别是积分的形式。这似乎是Carr最喜欢的主题，对它的处理非常充分，而且讲的很好。没有函数理论；我非常怀疑，直至生命尽头，拉马努金是否清楚地理解什么是解析函数。考虑到Carr自己的品味和拉马努金后来的工作，更令人惊讶的是，书中没有涉及椭圆函数。然而，拉马努金对这一理论可能有非常独特的理解，但这并非来自Carr。

总的来说，作为一个天赋异禀的男孩的灵感来源，Carr还算不错；而拉马努金给出的反应则令人惊异。

据他的印度传记作者Aiyar和Rao说

在这样向他打开的新世界里，拉马努金肆意游荡。正是这本书唤醒了他的天才。他开始建立书中的公式。由于没有其他书籍的帮助，每个求解对他来说都是一项研究……拉马努金过去常说，是Namakkal女神在梦中以这些公式启发了他。一个值得注意的事实：他经常从床上爬起来，把结果记下来，然后迅速地进行验证，尽管他总是无法给出严格证明……

我特意引用了最后的几句话，不是因为我认为它们很重要——我和你一样，对Namakkal女神不感兴趣。但由于我们现在正在趋近拉马努金生涯中困难和悲惨的一页，我们必须倾其所能地去了解他的心理和早年身处的环境。

我确信拉马努金不是一个神秘主义者，除了在严格的物质意义上，宗教在他的生活中没有扮演重要的角色。他是正统的、高种姓印度教教徒（Hindu），总是严格遵守他的种姓的所有仪式（事实上，他恪守的严格程度在居住英格兰的印度人中极为少见）。他答应过他的父母这样做，而且他严格遵守诺言。他是一个严格意义上的素食主义者；后来他病倒了，这成了一个可怕的困难——他在剑桥的时候，所有的食物都是他自己做的，而且每次做饭都得先换上印度睡衣（pyjamas）。

关于他的宗教信仰，拉马努金《论文集》中的两篇回忆（作者都是在某些方面对拉马努金很熟悉的人）观点截然相反。Aiyar和Rao写道：

拉马努金有明确的宗教观。他对Namakkal女神怀有一种特殊的崇敬之情……他相信有一种至高无上的存在，人们可以获得神性……关于此生和彼岸，他已经有了坚定的信念……

而我写道：

……他的宗教信仰是一种惯例仪式，而不是心智上的信念。我记得很清楚，他告诉我(这让我很吃惊)，在他看来，所有的宗教信仰或多或少都是正确的……

我们孰对孰错? 就我而言，一点也不怀疑，我很确定我是对的。

我相信古典学者在考据时的一个普遍原则，即“宁取较难阅读法则”（difficilior lectio potior）——越难解释的，越值得采取。如果坎特伯雷大主教告诉一个人他相信神，而告诉另一人他不信，那么很可能第二个说法是正确的，否则很难理解为什么他会这样说，而有许多精彩理由能解释他的第一个说辞——无论其真假。同样地，如果一个严格的婆罗门像拉马努金那样告诉我，他没有明确的信仰，那么他所说的99%就是他的真实想法。

拉马努金的宗教信仰问题本身并不重要，但也不是完全无关紧要，因为有一件事我真的很想尽我所能地去极力强调。关于拉马努金，已经有很多难以理解的东西，我们没有必要刻意再去制造神秘。就我自己而言，我非常喜欢和欣赏他，因此在谈论他时，我希望能以理性主义者的态度。我想明确地告诉你们，拉马努金在剑桥健康、舒适地生活时，尽管有种种古怪之处，但他和这里的任何人一样——理智、精神健全、有自己独特的敏锐。我最不想看到的就是，你们举起双手宣称“他身上有一些超乎理性的东西，是古老东方智慧的神秘表现!”我不相信古老的东方智慧，我要介绍给你的是一个与其他伟人一样有着自己一些怪癖的人，但却是一个你能从与他的交往中获得快乐、可以与他一起喝茶、一起讨论政治或数学的人。简而言之，他不是来自东方的奇迹，不是一个受神启示的白痴，也不是一个心理变态，而是一个理性的人，而他碰巧是一位伟大的数学家。

直到17岁左右，一切都很好。

1903年12月，他通过了马德拉斯大学的入学考试，次年1月，进入贡伯戈讷姆公立大学，并获得了Subrahmanyam奖学金，该奖学金通常颁发给精通英语和数学的学生。

但此后，一系列悲剧发生了。

这时，他是如此专心于数学，以至于在所有的课上——无论英语课、历史课还是生理学课——他总是忙于一些数学研究，而不注意课堂上发生的事情。这种对数学的过分投入和随之而来的对其他学科的忽视，导致他未能升入高年级，奖学金也因此中断了。部分是由于失望，部分是由于朋友的影响，他向北逃到泰卢固乡，但经过一番游荡后又回到了贡伯戈讷姆，重新回到了大学。由于缺席，没能拿到足够的出勤率，1905年他无法获得学期证书。1906年，他进入马德拉斯的帕卡雅帕学院，但因为生病又回到了贡伯戈讷姆。他以个人学生身份参加了1907年12月的考试，结果没能通过……

直到1912年，除了数学，拉马努金似乎没有任何固定职业。1909年，他结婚了，他必须有固定工作，但由于他不幸的大学生涯，很难找到工作。大约1910年,他开始向有影响力的朋友Ramaswami Aiyar以及他的两个传记作家寻求帮助，他们努力为拉马努金找到一份工作,但都失败了。1912年,他成为了马德拉斯港务局办公室的一名职员,年薪约30英镑。那时，他快25岁了。数学家生涯中，18到25岁是至关重要的几年，而损失已经造成——拉马努金天赋充分发展的机会已经逝去了。

关于拉马努金此后的生活,没有太多可说的。他的第一篇重要论文发表于1911年；1912年，人们开始了解他的非凡能力。值得注意的是，虽然印度人可以和他交朋友，但只有英国人能为他做些实在的事情。Francis Spring爵士和Gilbert Walker爵士为他获得了一笔特殊奖学金，每年60英镑，足以让一个已婚的印度人过上相当舒适的生活。1913年初，他写信给我，Neville教授和我克服许多困难，终于在1914年把他带到英国。在这里，三年间，他不间断地工作，取得的成果你可以在《论文集》中看到。1917年夏天，他病倒了，再也没能真正康复，尽管他还在继续工作——虽然断断续续，但没有任何退化的迹象，直到1920年去世。1918年初，他成为英国皇家学会的院士，同年晚些时候，他成为剑桥大学三一学院的院士（他是第一个被选入这两个学会的印度人）。他最后的工作“Mock-Theta函数”是去世前两个月写成的，这也是Watson教授去年向伦敦数学学会发表的主席演讲的主题。

关于拉马努金，真正的悲剧不是他的早逝。任何伟大人物的英年早逝当然都是一种灾难，但30岁对于数学家来说，往往已经比较老了，他的死亡可能并不像看上去那么可怕。阿贝尔死于26岁，如果不是早逝，他无疑会给数学带来更多的东西，但他几乎不可能成为一个更伟大的人。拉马努金的悲剧不在于他英年早逝，而在于在他不幸的五年中，他的天才被误导、被引入歧途，并在一定程度上被扭曲了。

回看16年前我写的关于拉马努金的话语，虽然我对他的工作比当初有了更多的了解，虽然我可以更冷静地去思考他，但我没发现有太多特别需要修正的地方。只有一句话，现在看来是不可原谅的。

关于拉马努金工作的重要性，评判它的标准，以及它可能对未来数学产生的影响，人们的看法可能会有所不同。它不具有最伟大作品所应有的简单性和必然性;如果它不那么奇怪，那就更好了。它表现出一种无可否认的天赋：深刻、无与伦比的独创性。如果他年轻时能被发现并被稍加“驯服”，他可能会成为一个更伟大的数学家;他会有更多的新发现，毫无疑问，这些发现也更重要。另一方面，他也不会再是拉马努金，而更像是一位欧洲教授，他的损失可能会大于收获……

除了最后那句话，我坚持以上观点，那句话是相当可笑的感伤主义。当贡伯戈讷姆学院拒绝了他们曾经拥有过的唯一一位伟人时，他们毫无收获，而损失是无法弥补的。这是我所知道的一个低效的、僵化的教育系统所能造成的损害的最糟糕的一个案例。他所求那么少——五年里每年60英镑、与有真才学识并稍微有点想象力的任何人的偶尔接触，而这世界就会得到又一个最伟大的数学家。

关于“墨子沙龙”

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