数学家说：物理学是如此重要，不能全留给物理学家。物理学家说：信息和计算是如此重要，不能全留给计算机科学家……

（图源：文章头图及封面图片版权所属：NASA/Sonoma State University/Aurore Simonnet.）

撰文 | 施郁

编辑 | 邸利会

量子信息学是量子力学与信息科学、计算机科学的交叉学科。

美国生物学家Edward Wilson有一段话，很好地说明了交叉学科的重要意义。他说：“科学是我们时代最大胆的形而上学，是人类的创造，相信如果我们有梦想，坚持去发现，解释，再梦想，从而不断进入新的领地，让世界显得更清晰，我们就能掌握宇宙的真正的奇异之处，而这些奇异之处将会被证明是互相联系，有意义的。”(引文由作者译自英文，下同。)

不同学科的科学家给交叉学科带来各自的特长。

大数学家希尔伯特有句幽默的名言：“物理学如此重要，不能留给物理学家（Physics is too important to be left to physicist）。”希尔伯特对广义相对论的数学形式做出过贡献，当时让爱因斯坦感到很大压力。

我们也可以说，生物学是如此重要，不能全留给生物学家。事实上，正是物理学家协助开启了分子生物学。

我们还可以说，信息和计算是如此重要，不能全留给计算机科学家。

本文回顾物理学家是如何开启了量子信息学。在此道路上，物理学家也对经典的信息科学做出了贡献。

当然，物理学对信息技术提供了硬件基础。电子计算机的器件（晶体管、存储器等）中的电子服从量子力学。但是，量子信息并不是指信息技术的量子物理基础。量子计算也不是指关于量子力学的计算问题，不是计算物理。这些固然是重要的领域，但不是所谓的量子计算与量子信息。

信息是什么？

信息的英文是information。顾名思义，Information is that which informs（信息是被告知的东西）。

信息是讯息（message）的内容，是对我们在获得该讯息之前对它的无知程度的度量，是对不确定性的降低。当我们对于某件事的不确定性越大，就需要越多的信息来消除这个不确定性。

信息的一个性质是，它可以编码成各种形式。比如，同样的思想可以用不同语言来表达。信息论中，信息用一个字符串来表达。

信息不仅是个抽象的数学概念。信息离不开物理载体，又可在不同物理载体之间转换。信息处理过程是物理过程，受物理规律主宰。

比如，由声音传递的信息取决于空气和耳膜的振动，由文字表达的信息取决于粉笔灰或墨水的分布；磁存储的信息取决于磁畴的状态；生命信息取决于遗传物质中四种碱基的分布；神经网络中的信号取决于神经元的状态。

1991年，德裔美国人Rolf Landauer提出一个口号：“信息是物理的（Information is physical）”，倡导从物理的角度研究计算和信息。

1990年，美国人John Wheeler提出一个口号：“物质来自比特（It from bit）”。Wheeler和Landauer的思想影响了最早研究量子信息的一批人，可以称他们为量子信息学的祖父。

顺便提一下，1972年，Phil Anderson曾提出一个口号：“多者异也（more is different）”，是说多体系统会展现出少体系统没有的新性质。

综合这些思想，从信息和量子信息的角度考虑物理定律的层展（emergence），也是一个有意思的方向。

麦克斯韦妖

最早进入物理学的信息问题，可能是麦克斯韦妖佯谬。

1867年，麦克斯韦在一封信里提出了这个佯谬。在1871年出版的《热的理论（Theory of Heat）》一书中，他做了详细论述。

考虑封闭容器内处于恒温的气体，他写道：“假设这样的一个容器分成两半，A和B，隔板上有一个小洞，有一个有意识的存在（being）能够看到单独的分子，能够关闭或打开这个洞，从而让较快的分子从A运动到B，让较慢的分子从B运动到A。因此他不需要做功，就能提高B的温度，降低A的温度。这与热力学第二定律矛盾。”

1879，开尔文勋爵（William Thomson）将麦克斯韦假想的being称为麦克斯韦妖。

麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831年6月13日－1879年11月5日）

利奧·西拉德的历史性贡献

希特勒在德国上台后，有几位匈牙利犹太人从德国移居美国，包括数学大师冯诺伊曼、物理诺奖得主维格纳和伽博、氢弹之父特勒（这些头衔是后来成就的），利奧·西拉德（Leo Szilard，1898年2月11日－1964年5月30日）是另一位，虽然不及前几位有名（维格纳为此感到痛苦），但是他对于人类社会历史进程的影响不一定在他们之下。

原子核裂变发现后，西拉德就想到链式反应和原子弹的可能性。为了敦促美国制造原子弹，他找到柏林时期的老朋友爱因斯坦，为他起草了致罗斯福总统的信。原子弹造出来后，西拉德又致力于制止使用原子弹。战后他从事生物学研究，是Salk研究所创建人之一。

一战时，20岁的西拉德在奥匈军队当兵，但是在上前线之前，染上了西班牙流感，被送到医院，而他所在的部队后来几乎被全歼。或许是西班牙流感救了他的命。

1929年，作为博士论文，西拉德研究了麦克斯韦妖问题。他用比特（容器的左右，他没有用比特这个名词）表示分子的位置状态，涉及到了信息（也没用这个词）。他提出麦克斯韦妖测量分子状态时，消耗能量，熵增加了ln2，抵消了气体分子的熵减少。这里代表玻尔兹曼常数，ln是以2为底的对数。

西拉德还提出一种利用信息的热机，也就是说，可以从信息提取功。我们用美国物理学家、信息理论学家Charles Bennett在1987年提出的版本来讨论——

考虑一个恒定温度的热库接触的小车，以及一串小隔间组成的传送带，每个小隔间里面有一个分子。假设事先知道每个分子的位置状态（信息），也就是在小隔间的左半部或者右半部。相应地，就可以设计机械，利用活塞向右半部或者左半部移动，分子所在的空间增加到整个小隔间。从而分子总是对外做功，驱动小车运动。也就是说，信息转化为了功。

如果事先不知道分子的位置，平均做功为零。

信息论

1948年，克劳德·艾尔伍德·香农（Claude Elwood Shannon，1916年4月30日－2001年2月26日）借助熵的概念，提出了信息论。

考虑一个字母表，由a1,a2, ⋯, an组成，每个字母出现的概率分别是p1,p2, ⋯, pn，p1+p2+⋯+ pn=1。

香农定义了信息熵: =-p1log_n(p1) -p2log_n(p2) ⋯-pnlog_n(pn)。这里log_n代表以n为底的对数。香农证明了这个字母组成的讯息可以压缩到n比特。也就是说，信息熵代表平均每个字母的信息量，定量刻画了信息存储与传输所需的资源。

我们可以看出，如果1=1, 其他的pi=0，也就是说只有a1这一个字母出现，那么=0, 也就是说没有信息量；如果每个都等于1/n, 那么=1，这是最大值。

Landauer原理

从1930年代开始，计算机的基础理论和技术有很多发展，本文后面将简述。

1961年，Rolf Landauer在IBM工作时提出了Landauer原理：每删除一个比特的信息，环境的熵至少增加ln2，也就是说，至少需要耗散能量ln2。我们知道熵乘以温度T就是热量，也就是耗散到环境的能量。

1973年，Bennett提出可逆计算的概念，指出原则上不需要能耗。虽然很多逻辑运算是不可逆的，比如2+3和1+4都等于5，因此从输出结果5，不能唯一确定输入。但是不可逆运算可以嵌套在可逆运算中，也就是将输入信息也当作输出结果的一部分。1982年，他提出可逆图灵机模型。图灵机是最简单的计算模型。

在这些工作的基础上，1987年，Bennett给出了麦克斯韦妖佯谬的解决方案——对分子状态的测量本身可以不消耗能量，测量结果存储在妖的记忆中，气体的熵减少由妖的记忆的熵增加补偿。但是妖的记忆有限，为了存储新的测量结果，需要删除旧的记忆，因此必须将熵转移到环境，也就是说，必须耗散能量到环境中去。

因此耗散的能量不是来自测量信息，而是来自删除信息。当然，如果将气体、妖、环境一起考虑，总熵总是不减少的。

信息与能量

作为对前述若干概念的消化，我们看一下信息与能量的关系。

如果事先知道某讯息（message,一串比特,如各分子的位置）的内容，删除这个讯息不需要消耗能量。

例如，考虑一个盒子中有一个分子，如果知道它在盒子的哪半边，可设法用一个小盒子包住它，它对小盒子的每个壁都有碰撞，平均做功为零，因此我们在不做功的情况下将它转移到事先选好的盒子的一半（事先选定左边或者右边），也就是删除讯息。因此，知道信息后，可以不费能量将其删除。而且，前面说过，还可以利用它，让分子对外做功。

但是，如果不知道分子位置时，我们只能统一地将将盒子体积压到一半（事先选定左边或者右边）。这需要付出能量。

计算机极简史

19世纪的查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage，1791年12月26日－1871年10月18日）设计了两个机械计算机，虽然都没能实际完成。

19世纪20年代，Babbage设计了计算多项式函数的差分机。

1837年，他又设计了可编程的机械计算机Analytic Engine，包含了计算机的主要元素。1941年，有人实现了他的设计。

Babbage制作的AnalyticEngine的模型。（图源：Wiki）

诗人拜伦的女儿Ada Lovelace为Analytic Engine写了程序，成为历史上第一位程序员。

Babbage和Lovelock的照片曾经放在一起，作为英国50英镑新钞票上的候选人物。但最终，另一位候选人图灵（Alan Turing）胜出。

1937年，图灵提出了图灵机、普适图灵机和图灵假说，严格定义了计算和程序的概念。图灵假说是说，存在普适图灵机，可以模拟任何图灵机。这就是说，存在普适计算机，用程序就可以实现任何计算。

1939年，物理学家John Vincent Atanasoff与他的学生Clifford Berry建造了第一台电子计算机。这是一台特定目的的计算机，不能编程。它用2进制和布尔代数，能计算29个联立方程。硬件上，它由电子真空管实现计算，用电容器作内存，没有中央处理器（CPU）。

物理学家 John Mauchly 和 J. P. Eckert设计了世界上第一台电子通用计算机，即ENIAC （电子数值积分计算机，Electronic Numerical Integrator And Computer），1946年建成。ENIAC的第一个用途是冯诺依曼和乌拉姆的氢弹计算。

Machley多次访问过Atanasoff，但是1944年之前，没有告知后者，自己也在造计算机。这使得Machley后来没有获得专利。

电子计算机飞速发展。1950年代，每秒做1000次浮点运算。而现在的速度是148.6PFLOPS（P = 10^12）。1965年，Gordon Moore总结出所谓的“Moore定律”：单个集成电路芯片上的晶体管数目大约每两年翻一番。从下图可以看出，Moore定律延续多年。

晶体管越来越小，越来越快。如此下去，单个比特只需要原子尺寸。但是在原子尺寸，量子效应将起支配作用，适用于经典计算机的Moore定律也就不能延续。

所以，一个思路就是，变不利为有利，干脆用量子力学作为新的计算（逻辑）原理。利用量子力学的原理，特别是量子态叠加原理，完成计算任务，处理和传递信息，这就是所谓的量子计算与量子信息。

量子力学基本问题的研究

量子计算与量子信息又与量子力学基本问题密切相联。

量子纠缠是超越任何经典关联的量子特性，研究始于爱因斯坦等人，经过戴维·玻姆（David Bohm，1917年12月20日－1992年10月27日）等人，后来由约翰·贝尔（John Bell，1928年6月28日－1990年10月1日）取得突破。

单量子系统在这些研究中体现出重要性。以前，正如薛定谔所说，“我们从来不用单个电子或原子或小分子做实验。在思想实验中，我们有时候假设能够做，这不可避免导致奇怪的后果……”事实上，当年的思想实验今天已经成为真实的实验，对于奇怪后果的探究导致量子物理基础和量子信息的进展。

量子计算与量子信息的兴起

1982年，费曼提出，用经典计算机模拟量子过程需要指数级资源，而量子计算机则可以有效地模拟量子过程。

1985年，英国物理学家David Deutsch提出量子图灵机和普适量子图灵机的概念。1989年，他又提出由量子门组成的量子计算的线路模型。

作为一个有实用意义的突破，1994年，美国人Peter Shor提出有效解决素数因子分解（寻找奇数的素数因子）的量子算法。在经典计算中，这个问题是一个NP问题，也就是说，需要的时间不是数字的二进制位数n的多项式函数。事实上，需要的时间是exp(O(n^3(log(n))^(2/3) ))。而Shor的量子算法需要的时间只是O(n^2 log(n) loglog(n))。f=O(g)的意思是，|f/g|介于两个有限正数之间。

量子计算的算法基于纠缠态的运用。量子纠缠也导致量子通信，比如量子隐形传态。而量子密码的某些方案基于海森堡不确定关系，某些方案基于量子纠缠。

2017年，意大利的国际理论物理中心将狄拉克奖授予Bennett，Deutsch 和Shor，以表彰他们用量子力学的基本概念解决计算和信息的基本问题，从而将量子力学、计算机科学和信息联系在一起。

小结

信息是物理的。因此经典计算和经典信息基于经典物理，而量子物理导致量子计算和量子信息。突破“Moore定律”的需要，经典信息和经典计算的量子推广，量子力学基本问题的探究，形成合力，催生了量子信息和量子计算。

（延伸阅读：施郁，揭开量子的神秘面纱。）

注：

本文作者施郁是复旦大学物理学系教授，中国科学技术大学兼职教授。文章是作者的课程《量子信息和量子计算》的绪论讲稿。从2月27日起，每周四9:55开始，他将在哔哩哔哩直播该课程。直播间链接：https://live.bilibili.com/21868825

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（除头图外，文中图片均由作者提供）

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