量子门、量子电路和量子的祖师爷们 | 量子计算群英会（五）

普朗克（德国）1900年提出量子概念时年龄最大，42岁；

爱因斯坦（德国）1905年用量子解释光电效应，26岁；

玻尔（丹麦）1913年结合量子概念提出原子结构理论，28岁；

德布罗意（法国）1923年提出德布罗意物质波，31岁；

海森堡（德国）1925年创立矩阵力学，1927年提出不确定性原理，24-26岁。

▲图1：量子早期先驱们作出重要成果时的年龄

几位先行者用量子概念解释了几个物理学实验方面的困难后，海森堡24岁建立的矩阵力学，第一次为量子建立了理论。然后，奥地利理论物理学家，时年37、8岁的薛定谔紧紧跟上，1925年建立了薛定谔方程。薛定谔方程是一种波动方程，能够在当时的多数情况下，为描述量子现象不确定性奠定了理论基础。这些理论逐渐与量子计算关联起来，因而也是量子计算的基础。例如：不确定性是量子系统及叠加态的内秉性质，是量子计算不同于经典计算的根源所在。

薛定谔的名言甚多，例如，广为人知的、又死又活的“薛定谔的猫”，比喻的量子叠加态，代表量子计算中量子位（量子比特）的本质；此外，爱因斯坦称之为“鬼魅般超距作用“的，量子计算中经常使用的“量子纠缠”，也是被薛定谔命名的。

薛定谔方程在低能非相对论的条件下，出奇地好用，解决了微观世界的许多物理难题。但它的不足之处是没有将狭义相对论包括在内。此外，也没有自动将电子自旋包括在方程中。完成这两项的是英国人狄拉克，狄拉克的风格是以精确和沉默寡言而著称。你听过“狄拉克单位”吗？它不是狄拉克在物理学中的创造，而是当年剑桥大学的同事们描述狄拉克时所开的善意的玩笑，因为他们将“1小时说一个字”定义为1个“狄拉克单位”，来描述狄拉克的少言寡语。狄拉克在1928年23岁时建立的狄拉克方程，自动包括了相对论和自旋，狄拉克为了解决从他的方程得到的负能量问题，提出了狄拉克海的假设，从而预言了正电子以及更进一步其它反粒子的存在。之后，这些粒子逐一被实验所证实，狄拉克的假设也成为量子电动力学和量子场论的基础。

狄拉克对科学许多方面贡献了若干项成果，有数学的、物理的、工程的，有方程、有符号、有预言，可谓不胜枚举。从简单的狄拉克δ函数，到狄拉克方程，无一不体现了他毕生追求的“数学美”。

狄拉克方程中包含的电子自旋，对理解量子计算非常重要，因为自旋就是“量子比特”的实现方式之一。25岁时提出原子物理中“泡利不相容原理”奥地利物理学家泡利，对自旋有深刻的理解。

泡利以言辞犀利、思想敏锐、习惯于挑剔著称，被玻尔誉为“物理学的良知”。他丝毫不给人留面子，即使是爱因斯坦，也对他“畏惧“三分。

据说泡利自己讲过他学生时代的一个故事，有一次在柏林大学听大神爱因斯坦讲相对论的报告，报告完毕，几个资深教授都暂时沉默不言，似乎正在互相猜测：谁应该提出第一个问题呢？突然，只见一个年轻学子站了起来说：“我觉得，爱因斯坦教授今天所讲的东西还不算太愚蠢！”这愣头愣脑的小伙子就是泡利。因此，十分有趣的是，据说每次爱因斯坦在演讲前，会自然地向观众席上观看，看看“鞭子”是否在场？

泡利对发现的学术问题尖刻地批评，对自己也一样地挑剔，毫不留情！还有值得赞赏的一点是：学生们在泡利面前不害怕问任何问题，也不必担心显得愚蠢，因为对泡利而言，所有的问题都是愚蠢的。

不过，太挑剔的泡利也曾使学生失去重大发现的机会，例如下面所述的发现自旋的故事。

泡利提出的不相容原理，已经与自旋的概念只差一步之遥。从他引入原子的的四个量子数来看，自旋概念已经呼之欲出，因为从四个量子数得到的谱线数目正好是原来理论预测数的两倍。这两倍（角量子数上的1/2）从何而来呢？一位来自德国的学生克罗尼格对这个研究课题产生了兴趣，试图对此问题给出答案。克罗尼格想，玻尔的原子模型类似于太阳系的行星：行星除了公转之外还有自转。如果原子模型中的角量子数l描述的是电子绕核转动的轨道角动量的话，那个额外加在角量子数上的1/2是否就描述了电子的“自转”呢？

克罗尼格迫不及待地将他的电子自旋的想法告诉泡利，泡利却冷冷地说“这确实很聪明，但是和现实毫无关系。”克罗尼格受到泡利如此强烈的反对，就放弃了自己的想法，也未写成论文发表。可是，仅仅半年之后，另外两个年轻物理学家乌伦贝克（George E. Uhlenbeck）和高斯密特（Samuel. A. Goudsmit）提出了同样的想法，并在导师埃伦费斯特支持下发表了文章。他们的文章得到了玻尔和爱因斯坦等人的好评。这令克罗尼格因失去了首先发现自旋的机会而颇感失望。

泡利反对将自旋理解为“自转”，这是正确的，不过仍然应该鼓励学生钻研下去，或先发表文章再寻求解释。泡利自己实际上一直都在努力思考自旋的数学模型。他开创性地使用了三个不对易的泡利矩阵作为自旋算子的群表述，并且引入了一个二元旋量波函数来表示电子两种不同的自旋态。

▲图2：泡利矩阵和泡利门

经典计算中有许多逻辑门：例如与门、或门、非门、与非门、或非门等等。每一种逻辑门完成一项简单的逻辑运算，但是它们的各种组合，便能够完成各种复杂的计算。量子计算中也有各种“量子门”，与经典逻辑门相对应。

比较经典门，量子门有如下不同之处：经典逻辑门的输入和输出是简单的比特（状态只是0或1），量子门输入和输出是可能状态有无穷多的量子比特。另一个区别是，量子门都是可逆的，经典门一般不可逆。

量子门可以有好几种描述方法，例如，在图3所示的5类单比特门中，就有4种表示方法：最上面是文字描述；第二层是矩阵描述；第三层是电路符号；最下面是布洛赫球面上矢量的变化。

简单解释一下矩阵描述及布洛赫球表示。量子门的作用是将Qubit从一个状态变成另一个状态。可以用2维矩阵代数的语言来描述叠加态（Qubit）的变化。量子比特是布洛赫球面上一个矢量，Qubit状态的演化，就是布洛赫球面上矢量的旋转。旋转是由用幺正（酉）矩阵表示的“量子门”引起的。矩阵（量子门）作用在矢量上，将Qubit的状态变成新的状态。许多Qubit、许多量子门连在一起，量子计算便如此一步一步进行下去。所有Qubit的最后状态，便是计算得到的最后结果。

▲图3：几种重要的单比特量子门

例如，最简单的量子门是量子非门（图3最左边的X门），类似于经典非门，实现0、1互换，量子非门实现 |0⟩→|1⟩或|1⟩→|0⟩ ，更为一般地说，实现如下变换：α|0⟩+β|1⟩→α|1⟩+β|0⟩。X门用矩阵X（泡利矩阵σ_X）表达，在布洛赫球面上，X门将|0⟩态矢量绕着x轴旋转了180度，最后到达|1⟩，从而实现状态翻转。此外还有相应的泡利Y门（σ_Y）和泡利Z门（σ_Z）。

图3中从左边算到第4个，是H门也叫Hadamard门^【3】，是一个非常重要的量子门。重要性是在于它的作用是使基态变成叠加态：|0⟩→α|0⟩+β|1⟩，这样才有可能进行量子计算。H门在创建叠加态方面发挥着关键作用，叠加态是量子计算的基石。其它的量子门作用在基态上，结果仍然是基态，只有H门产生叠加态。

阿达玛H门用法国数学家阿达玛（Hadamard， 1865－1963）的名字命名，阿达玛并不知晓量子计算，只是因为H门沿用了他定义的矩阵而已。

图3最右边是 S量子门，也叫相位门。相位门保留基态|0⟩，并且将|1⟩转换成 e^iθ（乘）基态|1⟩。若 θ 等于π， 则此门化为泡利-Z门，如果旋转π/2，则是S门，如果旋转π/4，则是另外一种T门，图中未画出。因此，Z、S、T门都是特殊的相位门。

▲图4：多比特量子门

除了单比特量子门之外，还有多比特量子门，如双比特量子门。最简单的是CNOT，或称“受控非门”，它的输入是两个量子比特，一个控制比特和一个被控比特。如果控制比特量子态为 |1⟩ ，受控比特翻转，否则受控比特保持不变。双比特量子门的变换矩阵是4x4的，如图4中右上角CNOT门的矩阵。托弗利门有8个输入8个输出，变换矩阵是23x23的，如图4中右下角所示。

▲图5：量子电路框图

量子电路由量子比特和量子门组成。量子比特（位）是量子信息的基本单位，一般以叠加态的形式存在。另一方面，如上所述，量子门是作用于量子比特以执行特定转换的操作。

人们用量子电路说明量子门如何控制量子信息，从而实现量子计算。量子电路是用于量子计算的模型，是执行量子位状态的传送之路，但量子电路图只是貌似经典的电路图，实际上完全不同于传统电路，例如：实线并不一定是物理电缆。量子电路的目的只是定义事件的时间顺序：水平轴是时间，左边开始右边结束。量子门的时间顺序会对量子位的最终状态产生重大影响。图5的框图中，左边开始的水平线是量子比特，下面的双线代表经典比特，一般与测量相连。量子电路图对理解电路的逻辑运算有帮助，但并不是接线的方式。

类似经典电路，计算是一系列的量子门，但测量是经典电路没有的量子操作。图5的量子电路图，来自于IBM Quantum 模拟器^【5】。

图6所示是一个简单的量子电路示意图。包括2个量子比特，两个量子门，以及两个测量。最下方的双线是经典比特的输入线，和测量后的结果输出线。

▲图6：简单量子电路，2个量子比特，两个量子门，两个测量

量子门的可逆性导致整个量子电路的可逆性，这是量子电路的特点之一。可逆性使得量子电路遵循一些特殊规则：一是只有时间顺序，一般没有回路（loop）；二是输入和输出的量子比特数目相等。另外，控制量子门可以完成某些简单却神奇的功能，例如最简单的CNOT门，即图6所示的电路，如果控制比特处于叠加态时，控制和受控比特之间就会发生量子纠缠，这是产生纠缠态的最简单量子电路，更多的控制门能表现更多的神奇功能。纠缠态对量子计算有什么用呢？如对纠缠的任何一个比特施加某种操作，相当于操作施加在了所有的纠缠的量子比特上。